最近、このブログで偏差値と正規分布について記事にすることが増えたので、用語を整理しておきます。偏差値というのは単純に次の式で導き出せます。
平均値と標準偏差は厳密に統計学上の定義で決まっていますが、偏差値になぜ１０を掛けたり５０を足したりするのか理論的必然性はありません。人間が理解しやすい数値に変換しただけです。１００点満点のテストがあって、平均点が５０点、上位１５％が６０点以上を取る難易度のときに偏差値と得点が合致します。
この指標は、慣例的に使用しているだけで、偏差値５０とか６０とかいう絶対値に何の意味もありません。まして、「偏差値５０が３人＝偏差値７５が２人」なんて関係は全くなりたちません。本当に意味があるのは偏差値ではなく正規分布表です。偏差値６０以上なんかよりも、１００人テストを受けて、１５番以内のほうがよほど数字として意味をもちます。大学受験も中学受験も偏差値で合格者を絞り込むのではなく、募集定員で合格者を絞り込みます。だから重要なのは偏差値ではなく順位です。
例えば、東大理一は定員約１０００名です。東大受験生の６０％が受ける模試で、理一志望者の中で６００番以内にいれば、とりあえず、現時点では合格圏にいます。６００番以降なら、努力して追い上げなければなりません。確実に合格したいのなら、当日の調子も加味して、３００番以内を目指します。本来模試とはそのように活用するものであって、偏差値に一喜一憂する必要はありません。
正規分布表とは、偏差値を分布で示したものです。理想的な分布をしているときに平均値からずれる確率です。例えば、偏差値４０から６０の間に全体の６８．２７％が含まれます。次に、偏差値３０から７０の間に実に全体の９５．４５％が含まれます。この範囲外にいる確率は、わずか５％以下ですから、偏差値３０以下７０以上は、４０人のクラスにそれぞれ１人程度しか存在しないことになります。このブログでは発想を変えて、分布率（上位累積分布率）を上位何％にいるかの指標に使います。出現率でもいいのですが、正規分布表からとって、覚えやすいので分布率とします。例えば、偏差値７０であれば、上位２．２８％以内（４０人学級で１番）、偏差値６０であれば、上位１５．８７％以内（４０人学級で６番以内）と扱います。そのときの上位ＸＸが分布率です。
- 分布率＝１−NORMDIST(偏差値, ５０, １０, TRUE)
- 分布率から偏差値＝５０−NORMSINV(分布率) × １０
- NORMDIST(), NORMSINV() はそれぞれエクセルの関数
| 偏差値 | 70 | 65 | 60 | 55 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| 分布率 | 2.28% | 6.68% | 15.87% | 30.85% | 50.00% |
